Задача. Разложить квадратный трехчлен \(5x^2 + 10x - 15\) на множители.

Решение. Найдем корни заданного квадратного трехчлена. Для этого решим следующее квадратное уравнение методом дискриминанта:

\[5x^2 + 10x - 15 = 0.\]

Для этого уравнения: \(a = 5, b = 10, c = -15\).

Вычислим дискриминант:

\[D = b^2-4ac = 10^2-4 \cdot 5 \cdot (-15) = 100 + 300 = 400 > 0.\]

Так как \(D>0\), поэтому уравнение имеет два действительных корня:

\[x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

То есть,

\[x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{400} }{2 \cdot 5} = \frac{-10 \pm 20}{10} = \frac{10 \cdot (-1 \pm 2)}{10} = -1 \pm 2.\]

Отсюда

\(x_1 = -1 - 2 = -(1 + 2) = -3\).

\(x_2 = -1 + 2 = 2 - 1 = 1\).

Верна следующая теорема.

Теорема. Если \(x_1\) и \(x_2\) являются корнями квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c\), то \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\).

Используя эту теорему, имеем:

\[5x^2 + 10x - 15 = 5(x + 3)(x - 1).\]

Таким образом, квадратное уравнение разложено на множители.

Проверка:

\[\begin{multline} 5(x + 3)(x - 1) = (5x + 15)(x - 1) = \\ = 5x^2 - 5x + 15x - 15 = 5x^2 + 10x - 15.\end{multline}\]