Задача. Разложить квадратный трехчлен 5x2+10x−15 на множители.
Решение. Найдем корни заданного квадратного трехчлена. Для этого решим следующее квадратное уравнение методом дискриминанта:
5x2+10x−15=0.
Для этого уравнения: a=5,b=10,c=−15.
Вычислим дискриминант:
D=b2−4ac=102−4⋅5⋅(−15)=100+300=400>0.
Так как D>0, поэтому уравнение имеет два действительных корня:
x1,2=−b±√D2a.
То есть,
x1,2=−10±√4002⋅5=−10±2010=10⋅(−1±2)10=−1±2.
Отсюда
x1=−1−2=−(1+2)=−3.
x2=−1+2=2−1=1.
Верна следующая теорема.
Теорема. Если x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения ax2+bx+c, то ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2).
Используя эту теорему, имеем:
5x2+10x−15=5(x+3)(x−1).
Таким образом, квадратное уравнение разложено на множители.
Проверка:
5(x+3)(x−1)=(5x+15)(x−1)==5x2−5x+15x−15=5x2+10x−15.
